SLAM学习笔记(二)

李群与李代数

Posted by QIY on June 27, 2020

高翔老师SLAM14讲学习笔记

1 由来

旋转矩阵自身带有约束(正交且行列式为1)。作为优化变量时,会引入额外的约束,使优化变得困难。李代数上可以变成无约束优化(把约束问题变成无约束问题)。

2 群的概念

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。 记集合为A,运算为 · ,那么当运算满足以下性质时,称(A, · ) 成群,性质: 封结幺逆 “凤姐咬你” 旋转矩阵,特殊正交群; 变换矩阵,特殊欧氏群; 可以验证,旋转矩阵和变换矩阵都是群。 其他常见的群:

2.1 李群(Lie Group)

  • 具有连续(光滑)性质的群
  • 既是群也是流形。
  • 直观上看,一个刚体能够连续地在空间中运动,故SO(3)和SE(3)都是李群
  • 但是,SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法,没有加法,所以难以进行取极限、求导等操作(加法不封闭)。

    2.2 李代数(so(3)为例)

    2.2.1 李代数由来

    与李群对应的一种结构,位于向量空间。

  • 通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。
  • 事实上是李群单位元处的正切空间。 李代数的引出
  • 任意旋转矩阵 R,满足: 一种李群对应一种李代数。 R在t时间域光滑可导有: 两侧对时间求导: 有: (可以看出是一个反对称矩阵) 记: 有:
  • 该式说明,对任意t,都可以找到一个R和一个 的对应关系
    • 该关系称为指数映射(Exponential Map)
    • 这里的 称为SO(3)对应的李代数:so(3)

      2.2.2 李代数性质

      每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元数的正切空间性质。

      2.2.3 李代数概念

  • 其中二元运算[,]被称为李括号(Lie Bracket)。
    • 直观上说,李括号表达了两个元素的差异。
  • 例子:三维空间向量+叉积运算 构成李代数
  • 李代数 so(3):
  • 其中: 李括号:

    2.3 SE(3)

    同理,对于李代数 se(3): 这个上尖尖不再是反对称,只是符号,内部的 的上尖尖才是反对称。 se(3) 由三个平移分量 和三个旋转分量 组成 (六个自由度) 旋转与so(3)相同 平移是普通的向量——但不是SE3上的平移分量! 上尖尖\^ 不再是反对称矩阵,但仍保留记法: :读上尖尖,或者英文的head; 李括号 :

    3 指数映射和对数映射

    4 李代数求导与扰动模型

    s–