高翔老师SLAM14讲学习笔记
1 内外积
1.1 内积
1.2 外积
2 坐标系的欧式变换
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直观看来由两个部分组成：
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原点间的平移
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三个轴的旋转
-
2.1 旋转
2.1.1 基本旋转动作
左乘：
得：
2.1.2 R矩阵性质
2.1.3 旋转变换方式
旋转矩阵描述了两个坐标的变换关系
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比如：
-
反之：
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于是：
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进一步，三个坐标系亦有：
2.2 平移
2.3 换种表达
用旋转+平移方式有一点不便之处，比如发生了两次变换：
这时：
叠加起来过于复杂。
改变形式，写成：
记：
；
那么多次变换就可写成：
这种用四个数表达三维向量的做法称为齐次坐标。引入齐次坐标后，旋转和平移可以放入同一个矩阵，称为变换矩阵。
目前我们一般研究三维，故有：
称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group）。
类似的，可定义反向的变换：
2.4 例子
3 旋转向量和欧拉角
3.1 旋转向量由来
除了旋转矩阵之外，旋转是一个三自由度的东西，也就是绕着三个轴去转，用9个数去描述它（旋转矩阵是一个3x3的矩阵），这样比较浪费存储空间，旋转矩阵计算也比较麻烦，旋转矩阵本身也是带有约束的（行列式等于1，正交矩阵）。那么在旋转矩阵上做这个事情相对困难，它不能当一个普通的矩阵去做优化。如何解决这个问题呢？嘎嘎，可以换其他的表示方法，如旋转向量和欧拉角，以及后面学到的四元数。
如下：
a 到b是绕w轴旋转90°。（旋转轴和旋转角）
方向为旋转轴、长度为转过的角度，称为角轴（Angle-Axis）或旋转向量（Rotation Vector）
；
那么这就就通过了三维空间的一个向量（代替了矩阵）描述了旋转；
3.2 角轴与旋转矩阵差异总结
旋转矩阵：九个量，有正交性约束和行列式值约束
角轴：三个量，没有约束
注意它们只是表达方式的不同，但表达的东西可以是同一个
3.3 角轴与旋转矩阵转换关系
轴角转旋转矩阵：罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）
（n的反对称）
旋转矩阵转轴角
角度：
轴：
（n：R特征值为1的特征向量）
4 欧拉角
欧拉角是相对于人，便以视觉观测的，可以看出大概是什么样子的。
概念：
将旋转分解为三次不同轴上的转动，以便理解
例如：按 Z-Y-X 顺序转动
轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同，因此存在许多种定义方式不同的欧拉角
常见的有 yaw-pitch-roll （偏航-俯仰-滚转）角等等
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绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw；
-
绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch；
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绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。
如果用一个旋转矩阵或向量很难想象是怎么转的，用三个轴的分量便于感知如何旋转。
欧拉角为什么不适用，它存在“万向锁”的情况，如下：
ZYX顺序中，若Pitch为正负90度，则第三次旋转和第一次绕同一个轴，使得系统丢失了一个自由度——存在奇异性问题（SLAM 程序中很少直接使用欧拉角表达姿态）。
5 四元数（一种扩展复数）
5.1 概念
（二维）
四元数有三个虚部，可以表达三维空间中的旋转：
单位四元数可以表达三维空间的一次旋转。
虚部之间的关系：
自己和自己的运算像复数 ，自己和别人的运算像叉乘。
5.2 四元数的一些运算和性质
5.3 四元数和角轴的关系
角轴到四元数：
四元数到角轴：
类似可知四元数亦可转换为旋转矩阵、欧拉角。
5.4 如何旋转
5.5 实践部分
Eigen几何模块，略；